Sannolikhetslära och statistik matte 1a

Sannolikhet existerar grenen inom matematik var oss lär oss ifall hur troligt detta existerar för att händelser inträffar. inom detta segment går oss igenom dem elementär begreppen vilket sannolikhetsteorin bygger vid, därför vilket den klassiska sannolikhetsdefinitionen, komplementhändelse samt relativ frekvens.

oss lär oss även hur oss matematiskt uttrycker sannolikheter.

Det finns situationer var oss ej säkert är kapabel känna till vilket likt kommer för att hända. ifall oss mot modell singlar enstaka slant, då förmå oss ej känna till angående myntet kommer för att landa sålunda för att detta visar topp alternativt klave. angående oss kastar myntet tillräckligt flera gånger därför kommer myntet för att landa ungefär hälften från gångerna vilket topp samt ungefär hälften liksom klave - resultatet inom en enskilt kast tillsammans myntet anses bero vid slumpen, dock sannolikheten för att enstaka viss händelse bör inträffa går för att räkna ut.

Är detta lika troligt för att man får topp vilket för att man får klave då man kastar myntet, säger man för att sannolikheten för att erhålla topp existerar 0,5 samt för att sannolikheten för att ett fåtal klave existerar 0,5.

Sannolikheten brukar betecknas tillsammans med P, ifrån engelskans probability (som betyder just sannolikhet).

Sannolikheten för att erhålla topp förmå tecknas sålunda här:

$$P(\text{krona})=0,5$$

och sannolikheten för att erhålla klave således här:

$$P(\text{klave})=0,5$$

Sannolikheten till för att enstaka viss händelse bör inträffa existerar ständigt mellan 0 (kommer inte någonsin för att ske) samt 1 (kommer ständigt för att ske).

En sannolikhet vid 0 innebär för att händelsen kunna förväntas inträffa inom 0% från fallen, medan enstaka sannolikhet vid 1 innebär för att händelsen kunna förväntas inträffa inom 100% från fallen - vid motsvarande sätt innebär enstaka sannolikhet vid 0,5 för att händelsen förmå förväntas inträffa inom 50% från fallen.

Sannolikheten på grund av ett händelse

Sannolikheten till ett incident A definieras i enlighet med nästa formel:

$$P(A)=\frac{\text{antalet gynnsamma utfall}}{\text{antalet tänkbara utfall}}=\frac{g}{m}$$

För händelsen A gäller att: \(0≤P(A)≤1\)

Exempel

Vad existerar sannolikheten för att slå enstaka 5:a tillsammans med enstaka vanlig sexsidig tärning?

Antalet gynnsamma påverkan = 1 (det finns bara ett 5:a vid tärningen)

Antalet tänkbara effekt = 6 (en sexsidig tärning äger naturligtvis sex sidor samt därför existerar sex olika resultat möjliga)

$$P(5)=\frac{1}{6}\approx0,167$$

Kastar oss ett vanlig sexsidig tärning kunna oss förväntas oss för att den inom ungefär 16,7% från fallen kommer för att visa ett 5:a.

Om oss låter händelsen A artikel 1 alternativt 2 alternativt 3 alternativt 4 alternativt 5 alternativt 6, dvs varenda tänkbara påverkan blir \(P(möjliga\;utfall)=1\)

Relativ frekvens – ta reda vid sannolikheten genom experiment

Ibland då oss beräknar vid sannolikheter kunna oss vid förhand ej känna till hur massiv sannolikhet detta existerar för att en visst påverkan sker.

inom dem fallen måste oss nyttja oss från experiment på grund av för att räkna ut vilken sannolikhet olika effekt äger.

Sannolikheten brukar betecknas tillsammans med, ifrån engelskans probability (som betyder just sannolikhet).

en experiment ger bara enstaka uppskattning från vilket sannolikheten på grund av en effekt existerar. Ju fler experiment liksom görs, desto tryggare blir resultaten.

Kastar oss ett hästsko tillsammans spikar inom vid golvet vet oss för att detta förmå landa tillsammans med spikarna upp alternativt ned. dock oss är kapabel ej innan kastet känna till vilken sannolikhet något från dessa resultat har.

Vi utför experimentet tillsammans med hästskon.

inom inledande försöket kastar oss hästskon 30 gånger, inom detta andra försöket kastar oss den 150 gånger samt inom detta tredjeplats kastar oss den 400 gånger. Efter varenda experiment beräknar oss ut sannolikheten såsom oss kallar den relativa frekvensen.

Sannolikhet till flera händelser.

Den räknas ut tillsammans hjälp från sannolikheten till enstaka händelse såsom nämnts tidigare. Resultaten är kapabel ses inom tabellen liksom följer.

Antal kast	Spikarna neråt	Spikarna uppåt	Relativa frekvensen till spikarna neråt	Relativa frekvensen för spikarna uppåt
30	15	15	\(\frac{15}{30}=0,5\)	\(\frac{15}{30}=0,5\)
150	85	65	\(\frac{85}{150}\approx0,57\)	\(\frac{65}{150}\approx0,43\)
400	260	140	\(\frac{260}{400}=0,65\)	\(\frac{140}{400}=0,35\)

Från tabellen är kapabel oss avläsa olika sannolikheter beroende vid hur flera kast oss fullfölja.

Ju fler kast oss utför desto närmare sanningen kommer oss. Tabellen visar för att detta existerar högre sannolikhet för att spikarna landar neråt än för att spikarna landar uppåt. Efter för att oss äger gjort 400 kast visar detta sig för att sannolikheten existerar 65% för att spikarna landar neråt samt för att sannolikheten existerar 35% för att spikarna landar uppåt.

I flera fall måste sannolikheter räknas ut vid detta sätt samt då får oss nöja oss tillsammans för att sannolikheterna inte någonsin kommer för att existera exakta, utan endast ett uppskattning.

Sannolikhet uteslutande händelser

Antag för att A samt B existerar 2 händelser likt ej kunna hända samtidigt (uteslutande).

detta innebär att

$$P(A\; eller\; B)=P(A)+P(B)$$

Exempel

Sannolikheten slå enstaka sexa alternativt enstaka trea.

Tillämpning.

\(P(en\;sexa)=\frac{1}{6}\); \(P(trea)=\frac{1}{6}\)

$$P(Sexa \;eller\; Trea)=P(Sexa)+P(Trea)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$$

Komplementhändelse

Vad existerar sannolikheten på grund av för att ej slå ett sexa då oss kastar enstaka vanlig sexsidig tärning?

Vid den på denna plats typen från ämnen brukar man prata angående komplementhändelser. Komplementhändelsen mot för att oss träffar ett 6:a tillsammans tärningen existerar för att oss träffar något annat än enstaka 6:a tillsammans med tärningen (det önskar yttra, oss träffar 1, 2, 3, 4, alternativt 5).

Adderar oss sannolikheten till enstaka incident samt sannolikheten på grund av dess komplementhändelse bör summan bli 1 (antingen sker händelsen alternativt även sker dess komplementhändelse - något annat kunna ej ske). Ifall händelsen oss existerar intresserade från betecknas tillsammans med A samt dess komplement tillsammans med B, således gäller alltså

$$P(A)+P(B)=1$$

Komplementärhändelsen beräknas:

$$P(B) = 1-P(A)$$

För komplementhändelsen mot för att slå ett 6:a tillsammans tärningen besitter oss fem gynnsamma effekt (1, 2, 3, 4, samt 5) samt sex tänkbara effekt (1, 2, 3, 4, 5, samt 6).

Svaret vid vilket sannolikheten för att ej ett fåtal enstaka sexa är:

$$P(ej\: 6)=\frac{5}{6}\approx0,83$$

Sedan tidigare vet oss för att sannolikheten på grund av för att slå enstaka 6:a tillsammans med ett sexsidig tärning är

$$P(6)=\frac{1}{6}\approx0,17$$

Sannolikheten på grund av enstaka incident samt dess komplementhändelse existerar ju ständigt 1:

$$P(6)+P(ej\,6)=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{6}{6}=1$$